Fórmula cuadrática
Objetivo de aprendizaje
1.Escribir una función cuadrática en su forma estándar a,b y c identificando los valores anteriores para dicha ecuación.
2. Usar la fórmula cuadrática para encontrar todas las soluciones complejas.
3. Calcular el discriminante e indicar el número y tipo de soluciones.
4. Resolver problemas de aplicación de uso de la fórmula cuadrática.
Introducción
Puede resolver una ecuación cuadrática (contemplando el cuadrado) reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una expresión genérica ax²+bx+c=0 y luego resuelves x para encontrar todas sus soluciones.
Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son dificiles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax²+bx+c=0.
Forma estándar
La forma ax²+bx+c=0 se llama la forma estándar de una ecuación cuadrática. Antes de resolver una ecuación cuadrática es necesario estar seguros de que la ecuación tenga esta forma. Si no, podríamos usar los valores incorrectos de a,b o c y la fórmula dará soluciones incorrectas.
Ejemplo:
1. 3x+2x²+4=5 a=2
2x²+3x+4-5=0 b=3
2x²+3x-1=0 c=-1
Solución de ecuaciones cuadráticas mediante la Fórmula General
La fórmula general funcionará con cualquier ecuación cuadrática pero solo si la ecuación está en la forma estándar, para utilizarla se siguen los siguientes pasos:
a)Poner primero la ecuación en su forma estándar.
b)Identificar los coeficientes a,b y c.
c)Tener cuidado con los signos negativos, si los términos de x o c se restan. Sustituir los valores por los coeficientes en la fórmula general.
d)Simplificar lo más posible.
e)Usar el signo enfrente del radical para separar la solución en 2 valores. Uno en el que la raíz cuadrática se suma y el otro en el que la raíz cuadrada se resta.
f)Simplificar ambos valores para obtener las posibles soluciones.
Graficación
La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice.
El discrminante
Una ecuación cuadrática puede tener 2 soluciones reales, una solución real o 2 soluciones complejas.
En la fórmula cuadrática, la expresión dentro del símbolo radical determina el número y tipo de soluciones quedara la fórmula. Esta expresión b²-4ac se llama el discriminante de la ecuación ax²+bx+c=0.
Se tendrán los siguientes casos:
a) si b²-4ac>0
Entonces el número dentro del radical será valor positivo por lo que valorar la fórmula cuadrática resultará en 2 soluciones reales ( una sumando la raíz cuadrada positiva y la otra restando).
b) si b²-4ac=0
Si b²=0, Entonces sacará la raíz cuadrada de 0, como 0 sumar y restar 0 da el mismo resultado, la porción i no importa, habrá solo una solución real.
c) si b²-4ac<0
Entonces el número dentro del radical será un valor negativo, como no se pueden encontrar la raíz cuadrada de un valor negativo usando numeros reales, no habrá soluciones reales. Sin embargo puedes usar numeros imaginarios. Entonces tendras soluciones complejas, una sumando la raíz cuadrada imaginaria y la otra restando.
